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Séance du 21 mars 2014, Groupe de travail Les enjeux des textes: science-philosophie

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al-Karaji, al-Fakhri: démonstration de l’algorithme de résolution des équations quadratiques

 

Naissance et affirmation d’une discipline. Les algébristes arabes du XIIe siècle face au problème de devoir définir le statut de leur discipline

 E.Sammarchi (SPHERE, Paris7)

Le Livre d’algèbre et al-muqabala, écrit par le mathématicien al-Khwārizmī autour du 820, a été à l’origine de la création d’un nouveau domaine de recherche auquel les mathématiciens arabes du IXe siècle se sont beaucoup intéressés : la science, ou art, de l’algèbre. En tant que discipline dont les objets peuvent être indifféremment des grandeurs ou des nombres, l’algèbre permet d’établir, enfin, un lien entre la géométrie et l’arithmétique, deux disciplines dont les frontières étaient rigoureusement distinctes dans le monde grec.

Après la fondation de la théorie des équations quadratiques, la recherche se bifurque en deux : certains mathématiciens s’intéressent aux rapports entre arithmétique et algèbre, en développant le calcul algébrique, d’autres étudient les rapports entre géométrie et algèbre. La démarche de ces derniers consiste à élaborer une théorie géométrique pour les équations de degré ≤ 3.

A côté des questions strictement mathématiques, les algébristes commencent aussi à s’interroger à propos du statut de leur discipline. Il s’agit, donc, d’une réflexion directement suscitée par la pratique mathématique qui sera à la base des ultérieurs développements de l’algèbre et des mathématiques en général. Il faut aussi rappeler que ceux qui ont contribué à ce débat n’ont pas tous une double formation, mathématique et philosophique, ce qui explique parfois le style un peu « faible » de certaines argumentations.

Si au IXe siècle la préoccupation était de faire de l’algèbre une discipline rigoureuse et aux bases solides, à partir du XIe siècle d’autres questions se posent. Nous en citerons deux : comment situer l’algèbre relativement aux autres disciplines mathématiques ? Et comment définir les objets algébriques ?

Bien évidemment, la réponse à ces questions influencera aussi les nouvelles classifications des sciences de l’époque (al-Fārābī, ibn Sina), dans lesquelles des nouvelles branches du savoir, inconcevables selon les traditionnelles catégories aristotéliciennes, doivent trouver leur place.

Concernant la première question, la réponse des algébristes de l’école d’al-Karajī sera, en premier, de distinguer l’algèbre de la géométrie, et, ensuite, d’identifier l’algèbre avec l’analyse et la géométrie avec la synthèse, selon une association analyse-algèbre qui demeurera actuelle jusqu’au XIXe siècle.

La chose est pour cette définition comme la ligne que le géomètre rend connue pour pouvoir s’en servir comme mesure, et ainsi toutes les lignes qui lui sont commensurables sont connues. […] L’une [la géométrie] se fonde sur la ligne et l’autre [l’algèbre] sur la chose, celle-là a une figure perçue par la vision alors que celle-ci a une forme connue par la sagacité , conçue par l’Esprit.

al-Karajī (fin Xe-début XIe), al-Badi

 L’art de l’algèbre fait partie de l’art de l’analyse et consiste à réduire le composé à ses éléments simples, ceux qui en constituent l’essence, et c’est cet art qui désigne le sage quand il dit que le début de la pensée est la fin de la pratique et la fin de la pensée le début de la pratique […] Cette pratique est celle requise par l’art de l’algèbre et al-muqābala et c’est celle-là meme que requiert l’art de l’analyse […] Quant à l’art de la géométrie, il est dans l’extraction des inconnues sans qu’il soit nécessaire d’analyser les connues en leurs éléments simples.

 al-Samaw‛al (XIIe) , al-Bahīr

Comme il a été évoqué au début, l’objet de l’algèbre, à savoir l’inconnue, peut indifféremment désigner un nombre ou une grandeur géométrique. L’objet des algébristes doit donc être suffisamment général pour recevoir des contenus divers, mais il doit aussi exister indépendamment de ses propres déterminations. Du statut ontologique d’un tel objet, la théorie aristotélicienne ne pouvait pas rendre compte. Il faut donc faire intervenir une nouvelle ontologie qui prévoit que les objets maths ne soient plus définis seulement par la théorie de l’abstraction. Cette nouvelle ontologie doit, en d’autres mots, autoriser le mathématicien à parler d’un objet qui n’a plus les caractères qui auraient permis de discerner de quoi il est l’abstraction. Puisqu’elle doit nous permettre de connaître un objet sans être en mesure de le représenter exactement, elle devra alors s’appuyer sur la généralité des opérations effectuables avec cet objet. Ce sera cette généralité qui, au XIIe siècle, sera considérée comme le critère indispensable pour pouvoir donner unicité aux objets algébriques.

Je dis : l’art de l’algèbre et d’al-muqābala est un art scientifique dont l’objet est le nombre absolu et les grandeurs mesurables, en tant qu’inconnus mais rapportées à une chose connue par laquelle on peut les déterminer -et cette chose est soit une quantité, soit un rapport – d’une manière telle que rien d’autre qu’eux-mêmes n’y participe et qui t’est indiquée par leur examen attentif, ce qu’on cherche dans cet art, ce sont les accidents attachés à son objet, en tant qu’il est son objet selon la propriété mentionnée ; l’accomplir consiste à connaître les méthodes mathématiques par lesquelles on peut saisir cette espèce évoquée de détermination des inconnues numériques ou géométriques.

al-Khayyām (1048-1131), Traité d’algèbre